यदि समीकरण निकाय x+2y+3z=3,4x+3y-4z=4,और 8x+4 | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण निकाय है:$x+2y+3z=3$ ... $(i)$$4x+3y-4z=4$ ... (ii)$8x+4y-\lambda z=9+\mu$ ... (iii)निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का

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$\left(\frac{72}{5}, \frac{-21}{5}\right)$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समीकरण निकाय है:$x+2y+3z=3$ ... $(i)$$4x+3y-4z=4$ ... (ii)$8x+4y-\lambda z=9+\mu$ ... (iii)निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह की कोटि $3$ से कम होनी चाहिए।सबसे पहले,गुणांक आव्यूह $D$ का सारणिक ज्ञात करें:$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 3 & -4 \ 8 & 4 & -\lambda \end{vmatrix} = 1(-3\lambda + 16) - 2(-4\lambda + 32) + 3(16 - 24) = 5\lambda - 72$.अनंत हलों के लिए,$D = 0 \Rightarrow 5\lambda - 72 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{72}{5}$.अब,संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ पर विचार करें:$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 3 \ 4 & 3 & -4 & | & 4 \ 8 & 4 & -\frac{72}{5} & | & 9+\mu \end{bmatrix}$.पंक्ति संक्रियाएँ करने पर: $R_2 	o R_2 - 4R_1$ और $R_3 	o R_3 - 8R_1$:$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 3 \ 0 & -5 & -16 & | & -8 \ 0 & -12 & -\frac{192}{5} & | & \mu-15 \end{bmatrix}$.अनंत हलों के लिए,तीसरी पंक्ति दूसरी पंक्ति का गुणज होनी चाहिए। गुणांकों का अनुपात $\frac{-12}{-5} = 2.4$ है।अतः,$\mu - 15 = 2.4 	imes (-8) = -19.2 \Rightarrow \mu = 15 - 19.2 = -4.2 = -\frac{21}{5}$.इसलिए,$(\lambda, \mu) = \left(\frac{72}{5}, -\frac{21}{5}ight)$.

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A)$ $\lambda=8, \mu \neq 15$	$1$. अनंत हल
$(B)$ $\lambda \neq 8, \mu \in R$	$2$. कोई हल नहीं
$(C)$ $\lambda=8, \mu=15$	$3$. अद्वितीय हल

यदि समीकरण निकाय $x+2y+3z=3$,$4x+3y-4z=4$,और $8x+4y-\lambda z=9+\mu$ के अनंत हल हैं,तो क्रमित युग्म $(\lambda, \mu)$ का मान क्या है?

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